Задание 19. В школьном классе 10 учеников 4 мальчиков и 6 девочек. 1) Случайным образом выбирают 3 учеников для участия в конкурсе. Сколько существует возможных вариантов, при которых все трое окажутся мальчиками? 2) Случайным образом выбирают 4 учеников для участия в конкурсе. Сколько существует возможных вариантов, при которых все четверо будут девочками? 3) Сколько существует возможных вариантов, при которых из 5 выбранных участников будет 2 мальчика и 3 девочки? 4) Постройте дерево возможных вариантов выбора двух мальчиков.

Ответ: 1) 4; 2) 15; 3) 60

1) Выбирают 3 учеников из 4 мальчиков. Количество вариантов: \[C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4\]

2) Выбирают 4 учеников из 6 девочек. Количество вариантов: \[C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = 15\]

3) Выбирают 2 мальчика из 4 и 3 девочки из 6. Количество вариантов: \[C_4^2 \times C_6^3 = \frac{4!}{2!(4-2)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{4!}{2!2!} \times \frac{6!}{3!3!} = \frac{4 \times 3}{2} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2} = 6 \times 20 = 120\]

4) Постройте дерево возможных вариантов выбора двух мальчиков. (Этот пункт требует визуального представления дерева, что невозможно сделать в текстовом формате)

Ответ: 1) 4; 2) 15; 3) 60