ЗАДАНИЕ №6: В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) равен 90°, длина стороны \( AB = 13 \), \( tg A = \frac{12}{5} \). Найдите длину стороны \( BC \).

Для решения этой задачи нам понадобится определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике. 1. **Определение тангенса угла:** Тангенс угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. \[ \tan(A) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \] В нашем случае, противолежащий катет к углу \( A \) - это \( BC \), а прилежащий катет - это \( AC \). Таким образом, \( \tan(A) = \frac{BC}{AC} \). 2. **Известно, что \( \tan(A) = \frac{12}{5} \), поэтому:** \[ \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5} \] 3. **Также нам известна гипотенуза \( AB = 13 \). Используем теорему Пифагора:** \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 13^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ 169 = AC^2 + BC^2 \] 4. **Выразим \( AC \) через \( BC \) из уравнения с тангенсом:** \[ AC = \frac{5}{12} BC \] 5. **Подставим это выражение в теорему Пифагора:** \[ 169 = \left( \frac{5}{12} BC \right)^2 + BC^2 \] \[ 169 = \frac{25}{144} BC^2 + BC^2 \] \[ 169 = \frac{25 BC^2 + 144 BC^2}{144} \] \[ 169 = \frac{169}{144} BC^2 \] \[ BC^2 = 169 \cdot \frac{144}{169} \] \[ BC^2 = 144 \] \[ BC = \sqrt{144} = 12 \] **Ответ: Длина стороны \( BC = 12 \)**