Задание 15: В треугольнике (ABC) известно, что (AB = 2), (BC = 3), (AC = 4). Найдите (\cos \angle ABC).

Для нахождения косинуса угла \(\angle ABC\) воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим \(\angle ABC = \beta\). Теорема косинусов утверждает, что для треугольника со сторонами (a), (b), (c) и углом \(\gamma\) между сторонами (a) и (b): \[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\] В нашем случае: * (a = AB = 2) * (b = BC = 3) * (c = AC = 4) * \(\gamma = \angle ABC = \beta\) Тогда теорема косинусов для нашего треугольника выглядит так: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC \cdot \cos(\beta)\] Подставим значения: \[4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\beta)\] \[16 = 4 + 9 - 12 \cos(\beta)\] \[16 = 13 - 12 \cos(\beta)\] Выразим \(\cos(\beta)\): \[12 \cos(\beta) = 13 - 16\] \[12 \cos(\beta) = -3\] \[\cos(\beta) = \frac{-3}{12}\] \[\cos(\beta) = -\frac{1}{4}\] Таким образом, (\cos \angle ABC = -\frac{1}{4}\). Ответ: \(-\frac{1}{4}\)