Задание 9: В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 20, tg A = $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$. Найдите длину стороны AC.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC, значит, треугольник равнобедренный. AB = 20, tg A = $$\frac{\sqrt{5}}{2}$$. Нужно найти длину стороны AC. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, то есть угол A равен углу B. Опустим высоту CH на сторону AB. Тогда AH = HB = $$\frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. В прямоугольном треугольнике ACH: $$\tg A = \frac{CH}{AH}$$. Значит, $$CH = AH * \tg A = 10 * \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}$$. Теперь найдем AC по теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + 25 * 5 = 100 + 125 = 225$$. $$AC = \sqrt{225} = 15$$ Ответ: 15