Задание 9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 100, sin A = $$\frac{4}{5}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin A = $$\frac{BC}{AB}$$. Тогда BC = AB * sin A = 100 * $$\frac{4}{5}$$ = 80. По теореме Пифагора, $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$, следовательно, $$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 100^2 - 80^2 = 10000 - 6400 = 3600$$. Таким образом, AC = $$\sqrt{3600}$$ = 60. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. В нем cos A = $$\frac{AH}{AC}$$. Мы знаем, что sin A = $$\frac{4}{5}$$. Тогда cos A = $$\sqrt{1 - sin^2 A}$$ = $$\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2}$$ = $$\sqrt{1 - \frac{16}{25}}$$ = $$\sqrt{\frac{9}{25}}$$ = $$\frac{3}{5}$$. Следовательно, AH = AC * cos A = 60 * $$\frac{3}{5}$$ = 36. Ответ: 36