Задание 1 (Вариант 1): Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая DA, перпендикулярная плоскости треугольника ABC, где M – середина стороны BC. Докажите, что прямые BC и MD перпендикулярны.

Решение:

1. Т.к. DA перпендикулярна плоскости ABC, то DA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, DA перпендикулярна BC.
2. Т.к. ABC - равносторонний треугольник, а M - середина BC, то AM является медианой и высотой. Следовательно, AM перпендикулярна BC.
3. Прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым (DA и AM) плоскости DAM. Следовательно, BC перпендикулярна плоскости DAM.
4. Т.к. BC перпендикулярна плоскости DAM, то BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая MD.

Таким образом, прямые BC и MD перпендикулярны.