Задание 1 (Вариант 2): Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая MC, перпендикулярная плоскости квадрата. Докажите, что прямые BD и MO перпендикулярны, если точка O – точка пересечения диагоналей квадрата.

Решение:
1. Т.к. MC перпендикулярна плоскости квадрата, то MC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, MC перпендикулярна BD (т.к. BD лежит в плоскости квадрата).
2. Диагонали квадрата ABCD перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке O. Следовательно, BD перпендикулярна AC.
3. Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым (MC и AC) плоскости AMC. Следовательно, BD перпендикулярна плоскости AMC.
4. Т.к. BD перпендикулярна плоскости AMC, то BD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая MO.

Таким образом, прямые BD и MO перпендикулярны.