Задание 3 (Вариант 1): Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AC = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м.

Решение:

1. Пусть α и β - перпендикулярные плоскости, а прямая с - линия их пересечения. AC перпендикулярна c, BD перпендикулярна c.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD (угол ACD = 90 градусов, т.к. плоскости перпендикулярны). По теореме Пифагора найдем AD: (AD^2 = AC^2 + CD^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72). Следовательно, AD = \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD (угол BDC = 90 градусов, т.к. плоскости перпендикулярны). По теореме Пифагора найдем BC: (BC^2 = BD^2 + CD^2 = 7^2 + 6^2 = 49 + 36 = 85). Следовательно, BC = \(\sqrt{85}\)
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. По теореме Пифагора найдем AB:
(AB^2 = AD^2 + BD^2=AC^2 + CD^2 + BD^2 )
(AB^2 = 6^2 + 6^2 + 7^2 = 36 + 36 + 49 = 121)
\(AB=\sqrt{121} = 11\)

Ответ: Длина отрезка AB равна 11 м.