Задание 4 (Вариант 1): Основание прямой призмы - треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 \(см^2\). Найти площадь полной поверхности призмы.

Пусть стороны треугольника \(a = 5\) см, \(b = 3\) см, угол между ними \(\gamma = 120^\circ\). Найдем площадь основания (треугольника) по формуле: \(S_{осн} = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma) = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin(120^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2\) Пусть \(c\) - третья сторона треугольника. Найдем ее по теореме косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma) = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120^\circ) = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49\) \(c = \sqrt{49} = 7 \text{ см}\) Пусть \(h\) - высота призмы. Площади боковых граней: \(5h, 3h, 7h\). Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 \(см^2\), значит, \(7h = 56\), откуда \(h = 8\) см. Площадь боковой поверхности: \(S_{бок} = (5 + 3 + 7)h = 15 \cdot 8 = 120 \text{ см}^2\) Площадь полной поверхности: \(S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} + 120 = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \approx 132.99 \text{ см}^2\) Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \(\frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \approx 132.99 \text{ см}^2\).