Задание 3 (Вариант 1): В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна \(2\sqrt{3}\) см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды.

Сначала найдем объем пирамиды \(V\). Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. \(V = \frac{1}{3}S_{осн}h\). Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). В нашем случае \(a = 2\sqrt{3}\) см. \(S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \text{ см}^2\). Теперь находим объем пирамиды: \(V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \text{ см}^3\). Теперь найдем угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Пусть \(O\) - центр основания (правильного треугольника), \(S\) - вершина пирамиды, \(A\) - вершина основания. Тогда \(SO\) - высота пирамиды, а \(SA\) - боковое ребро. Угол наклона бокового ребра \(SA\) к плоскости основания - это угол \(\angle SAO\). Найдем \(AO\) - радиус описанной окружности около правильного треугольника. \(AO = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ см}\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(SAO\). \(\tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} = \frac{2}{2} = 1\). Следовательно, \(\angle SAO = \arctan(1) = 45^\circ\). Ответ: Объем пирамиды равен \(2\sqrt{3} \text{ см}^3\). Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \(45^\circ\).