Задание 1: Задан прямоугольник ABCD. K – середина AB, L – середина BC, M – середина CD, N – середина AD. а) Докажите, что KLMN - ромб. б) Найдите периметр и площадь KLMN, если AB = 18 см, BC = 24 см.

а) Доказательство, что KLMN – ромб: * Поскольку K, L, M, N – середины сторон прямоугольника ABCD, то KL, LM, MN и NK являются средними линиями треугольников, образованных сторонами прямоугольника и его диагоналями. * Следовательно, KL || AC, MN || AC, NK || BD и LM || BD. Так как диагонали прямоугольника равны, то AC = BD. Значит KL = MN = NK = LM = \(\frac{1}{2}\) AC. * Раз все стороны четырехугольника KLMN равны, то KLMN – ромб. б) Нахождение периметра и площади KLMN: * AB = 18 см, BC = 24 см. По теореме Пифагора, диагональ прямоугольника AC = \(\sqrt{AB^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{18^2 + 24^2}\) = \(\sqrt{324 + 576}\) = \(\sqrt{900}\) = 30 см. * Сторона ромба KL = \(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) * 30 = 15 см. * Периметр ромба P = 4 * KL = 4 * 15 = 60 см. * Для нахождения площади ромба, необходимо найти его высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник AKN, где AK = \(\frac{1}{2}\)AB = 9 см, AN = \(\frac{1}{2}\)AD = 12 см. Площадь прямоугольника ABCD равна 18 * 24 = 432 кв.см. Площадь ромба KLMN равна половине площади прямоугольника ABCD, т.е. 216 кв. см. Ответ: Периметр ромба KLMN равен 60 см, площадь равна 216 кв.см.