Задание 4: Задана равнобедренная трапеция ABCD. Диагональ AC, равная 6√3 см, является биссектрисой острого угла A = 60°. Найдите периметр трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB = CD, угол A = 60°, AC - биссектриса угла A, AC = 6\(\sqrt{3}\) см. Так как AC - биссектриса угла A, то угол BAC = углу CAD = \(\frac{1}{2}\) * 60° = 30°. Поскольку ABCD - трапеция, BC || AD, и угол BCA = углу CAD = 30° (как накрест лежащие углы). В треугольнике ABC, угол BAC = углу BCA = 30°, следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, и AB = BC. Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD = 30°. Угол D = углу A = 60° (в равнобедренной трапеции углы при основании равны). Следовательно, угол ACD = 180° - 30° - 60° = 90°. В прямоугольном треугольнике ACD, угол CAD = 30°. Тогда CD = \(\frac{1}{2}\) * AD и AC = CD * \(\sqrt{3}\). Так как CD = AB = BC, то AC = AB * \(\sqrt{3}\). 6\(\sqrt{3}\) = AB * \(\sqrt{3}\), следовательно, AB = 6 см. Тогда BC = 6 см и CD = 6 см. AD = 2 * CD = 2 * 6 = 12 см. Периметр трапеции P = AB + BC + CD + AD = 6 + 6 + 6 + 12 = 30 см. Ответ: Периметр трапеции равен 30 см.