Задание 1. Решить систему рациональных уравнений: а) {2/(x−y)−1/(x+y)=1; 5/(x+y)−1/(x−y)=4}; б) {1/(x+2y)−y=3; y/(x+2y)−10=0}.

а) Область допустимых значений: x−y≠0, x+y≠0. Обозначим u=1/(x−y), v=1/(x+y). Получаем систему 2u−v=1, 5v−u=4.

1. Из первого уравнения v=2u−1.
2. Подставляем во второе: 5(2u−1)−u=4, откуда 9u=9 и u=1. Тогда v=1.
3. Значит, x−y=1 и x+y=1. Складывая уравнения, получаем x=1, затем y=0. Пара удовлетворяет ОДЗ.

б) ОДЗ: x+2y≠0. Обозначим t=1/(x+2y). Тогда t−y=3 и yt=10.

1. Из первого уравнения y=t−3. Подстановка во второе даёт t(t−3)=10, то есть (t−5)(t+2)=0.
2. При t=5 получаем y=2 и x=1/5−2·2=−19/5.
3. При t=−2 получаем y=−5 и x=−1/2−2(−5)=19/2.
4. В обоих случаях знаменатель ненулевой, и исходные уравнения выполняются.

Ответ: а) (1; 0); б) (−19/5; 2), (19/2; −5).