Задание 4. Решить систему логарифмических уравнений: а) {4x−y=2; log₂x+log₂y=1}; б) {logₓy+logᵧx=2; xy=64}; в) {log₆x+log₆y=2; x−y=−5}; г) {log₃(x²+4x−3)−log₃y=1; 2x+y=7}.

а) ОДЗ: x>0, y>0. По свойству логарифмов log₂(xy)=1, поэтому xy=2. Из первого уравнения y=4x−2. Тогда x(4x−2)=2, то есть 2x²−x−1=0. Корни x=1 и x=−1/2; второй не подходит по ОДЗ. При x=1 получаем y=2.

б) ОДЗ: x>0, y>0, x≠1, y≠1. Обозначим t=logₓy. По формуле взаимно обратных логарифмов logᵧx=1/t. Тогда t+1/t=2, откуда (t−1)²=0 и t=1. Следовательно, y=x. Из xy=64 получаем x²=64; с учётом x>0 имеем x=y=8, что удовлетворяет ОДЗ.

в) Из суммы логарифмов следует log₆(xy)=2, значит xy=36. Также x−y=−5, то есть y=x+5. Тогда x(x+5)=36, откуда (x−4)(x+9)=0. С учётом ОДЗ x=4, y=9.

г) ОДЗ требует y>0 и x²+4x−3>0. Объединяя логарифмы, получаем log₃((x²+4x−3)/y)=1, следовательно, x²+4x−3=3y. Из второго уравнения y=7−2x. Подстановка даёт x²+10x−24=0, откуда x=2 или x=−12. При x=2 получаем y=3, и аргумент первого логарифма равен 9 — решение подходит. При x=−12 получаем y=31, но x²+4x−3=93≠3y=93? Проверка: 144−48−3=93 и 3·31=93, поэтому это решение также подходит.

Ответ: а) (1; 2); б) (8; 8); в) (4; 9); г) (2; 3), (−12; 31).