Задание 3. Решить систему показательных уравнений: а) {x+2y=3; 3^(x−y)=81}; б) {5^x−3^y=16; 5^(x/2)−3^(y/2)=2}; в) {3^x·2^y=4; 3^y·2^x=9}.

а)

1. Так как 81=3⁴, из второго уравнения следует x−y=4.
2. Решаем систему x+2y=3, x−y=4. Вычитая второе уравнение из первого, получаем 3y=−1, значит y=−1/3 и x=11/3.

б) Обозначим A=5^(x/2), B=3^(y/2). Тогда A>0, B>0, A²−B²=16 и A−B=2.

1. Разложим разность квадратов: (A−B)(A+B)=16. Так как A−B=2, получаем A+B=8.
2. Решая A−B=2 и A+B=8, находим A=5, B=3. Следовательно, x=2 и y=2.
3. Проверка: 25−9=16 и 5−3=2.

в) Возьмём натуральные логарифмы обеих частей равенств. Получаем линейную систему x ln 3+y ln 2=ln 4, x ln 2+y ln 3=ln 9.

1. Обозначим D=(ln 3)²−(ln 2)². Поскольку D≠0, решение единственно.
2. По формулам решения линейной системы: x=(ln 4·ln 3−ln 9·ln 2)/D, y=(ln 9·ln 3−ln 4·ln 2)/D.

Ответ: а) (11/3; −1/3); б) (2; 2); в) ((ln 4·ln 3−ln 9·ln 2)/D; (ln 9·ln 3−ln 4·ln 2)/D), где D=(ln 3)²−(ln 2)².