Задание 1. Решите неравенство:

Решение:

Неравенства вида \( (a-x)(x^2-b^2) \ge 0 \) решаются разложением на множители и методом интервалов. Заметим, что \( x^2-b^2 = (x-b)(x+b) \).

1. \( (7-x)(x^2-49) \ge 0 \) \( \Rightarrow (7-x)(x-7)(x+7) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-7)^2(x+7) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-7)^2(x+7) \le 0 \). Корни: \( x=7 \) (кратности 2), \( x=-7 \). Решение: \( x \in (-\infty; -7] \).
2. \( (5-x)(x^2-25) \ge 0 \) \( \Rightarrow (5-x)(x-5)(x+5) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-5)^2(x+5) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-5)^2(x+5) \le 0 \). Корни: \( x=5 \) (кратности 2), \( x=-5 \). Решение: \( x \in (-\infty; -5] \).
3. \( (6-x)(x^2-36) \ge 0 \) \( \Rightarrow (6-x)(x-6)(x+6) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-6)^2(x+6) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-6)^2(x+6) \le 0 \). Корни: \( x=6 \) (кратности 2), \( x=-6 \). Решение: \( x \in (-\infty; -6] \).
4. \( (3-x)(x^2-9) \ge 0 \) \( \Rightarrow (3-x)(x-3)(x+3) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-3)^2(x+3) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-3)^2(x+3) \le 0 \). Корни: \( x=3 \) (кратности 2), \( x=-3 \). Решение: \( x \in (-\infty; -3] \).
5. \( (8-x)(x^2-64) \ge 0 \) \( \Rightarrow (8-x)(x-8)(x+8) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-8)^2(x+8) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-8)^2(x+8) \le 0 \). Корни: \( x=8 \) (кратности 2), \( x=-8 \). Решение: \( x \in (-\infty; -8] \).
6. \( (9-x)(x^2-81) \ge 0 \) \( \Rightarrow (9-x)(x-9)(x+9) \ge 0 \) \( \Rightarrow -(x-9)^2(x+9) \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-9)^2(x+9) \le 0 \). Корни: \( x=9 \) (кратности 2), \( x=-9 \). Решение: \( x \in (-\infty; -9] \).

Ответ: 1) \( (-\infty; -7] \); 2) \( (-\infty; -5] \); 3) \( (-\infty; -6] \); 4) \( (-\infty; -3] \); 5) \( (-\infty; -8] \); 6) \( (-\infty; -9] \).