Задание 3. Решите неравенство:

Решение:

Неравенства вида \( (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \ge 0 \) решаются разложением квадратных трёхчленов на множители и методом интервалов.

1. \( (x^2+x-20)(x^2-10x+24) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-20 = (x+5)(x-4) \), \( x^2-10x+24 = (x-6)(x-4) \). Получаем: \( (x+5)(x-4)^2(x-6) \ge 0 \). Корни: \( x=-5 \), \( x=4 \) (кратности 2), \( x=6 \). Метод интервалов: \( x \in [-5; 4] \cup [4; 6] \). Объединяя, получаем \( x \in [-5; 6] \).
2. \( (x^2+x-12)(x^2-9x+18) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \), \( x^2-9x+18 = (x-6)(x-3) \). Получаем: \( (x+4)(x-3)^2(x-6) \ge 0 \). Корни: \( x=-4 \), \( x=3 \) (кратности 2), \( x=6 \). Метод интервалов: \( x \in [-4; 3] \cup [3; 6] \). Объединяя, получаем \( x \in [-4; 6] \).
3. \( (x^2+3x-4)(x^2-6x+5) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+3x-4 = (x+4)(x-1) \), \( x^2-6x+5 = (x-5)(x-1) \). Получаем: \( (x+4)(x-1)^2(x-5) \ge 0 \). Корни: \( x=-4 \), \( x=1 \) (кратности 2), \( x=5 \). Метод интервалов: \( x \in [-4; 1] \cup [1; 5] \). Объединяя, получаем \( x \in [-4; 5] \).
4. \( (x^2+2x-8)(x^2-9x+14) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+2x-8 = (x+4)(x-2) \), \( x^2-9x+14 = (x-7)(x-2) \). Получаем: \( (x+4)(x-2)^2(x-7) \ge 0 \). Корни: \( x=-4 \), \( x=2 \) (кратности 2), \( x=7 \). Метод интервалов: \( x \in [-4; 2] \cup [2; 7] \). Объединяя, получаем \( x \in [-4; 7] \).
5. \( (x^2-2x-8)(x^2-9x+20) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2-2x-8 = (x-4)(x+2) \), \( x^2-9x+20 = (x-4)(x-5) \). Получаем: \( (x+2)(x-4)^2(x-5) \ge 0 \). Корни: \( x=-2 \), \( x=4 \) (кратности 2), \( x=5 \). Метод интервалов: \( x \in [-2; 4] \cup [4; 5] \). Объединяя, получаем \( x \in [-2; 5] \).
6. \( (x^2-x-6)(x^2-8x+15) \ge 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2-x-6 = (x-3)(x+2) \), \( x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \). Получаем: \( (x+2)(x-3)^2(x-5) \ge 0 \). Корни: \( x=-2 \), \( x=3 \) (кратности 2), \( x=5 \). Метод интервалов: \( x \in [-2; 3] \cup [3; 5] \). Объединяя, получаем \( x \in [-2; 5] \).

Ответ: 1) \( [-5; 6] \); 2) \( [-4; 6] \); 3) \( [-4; 5] \); 4) \( [-4; 7] \); 5) \( [-2; 5] \); 6) \( [-2; 5] \).