Задание 4. Решите неравенство:

Решение:

Неравенства вида \( (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \le 0 \) решаются разложением квадратных трёхчленов на множители и методом интервалов.

1. \( (x^2+x-6)(x^2+x-12) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \), \( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \). Получаем: \( (x+3)(x-2)(x+4)(x-3) \le 0 \). Корни: \( x=-4, x=-3, x=2, x=3 \). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 2] \cup [3; \infty) \). Для \( \le 0 \) выбираем интервалы: \( (-\infty; -4] \cup [-3; 2] \cup [3; \infty) \). Но здесь мы имели в виду, что у нас 4 корня. \( (x+4)(x+3)(x-2)(x-3) \le 0 \). Метод интервалов: \( x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 2] \cup [3; \infty) \). Однако, исходные многочлены дают корни: \( x=-3, x=2 \) и \( x=-4, x=3 \). Упорядочим корни: \( -4, -3, 2, 3 \). Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; -4] \), \( [-4; -3] \), \( [-3; 2] \), \( [2; 3] \), \( [3; \infty) \). Знак произведения: \( + - + - + \). Для \( \le 0 \) выбираем \( (-\infty; -4] \cup [-3; 2] \cup [3; \infty) \).
2. \( (x^2+x-2)(x^2+x-20) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-2 = (x+2)(x-1) \), \( x^2+x-20 = (x+5)(x-4) \). Получаем: \( (x+2)(x-1)(x+5)(x-4) \le 0 \). Корни: \( x=-5, x=-2, x=1, x=4 \). Метод интервалов: \( (-\infty; -5] \cup [-2; 1] \cup [4; \infty) \).
3. \( (x^2+x-42)(x^2+x-12) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-42 = (x+7)(x-6) \), \( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \). Получаем: \( (x+7)(x-6)(x+4)(x-3) \le 0 \). Корни: \( x=-7, x=-4, x=3, x=6 \). Метод интервалов: \( (-\infty; -7] \cup [-4; 3] \cup [6; \infty) \).
4. \( (x^2+x-12)(x^2+x-20) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \), \( x^2+x-20 = (x+5)(x-4) \). Получаем: \( (x+4)(x-3)(x+5)(x-4) \le 0 \). Корни: \( x=-5, x=-4, x=3, x=4 \). Метод интервалов: \( (-\infty; -5] \cup [-4; 3] \cup [4; \infty) \).
5. \( (x^2+x-6)(x^2+x-30) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-6 = (x+3)(x-2) \), \( x^2+x-30 = (x+6)(x-5) \). Получаем: \( (x+3)(x-2)(x+6)(x-5) \le 0 \). Корни: \( x=-6, x=-3, x=2, x=5 \). Метод интервалов: \( (-\infty; -6] \cup [-3; 2] \cup [5; \infty) \).
6. \( (x^2+x-30)(x^2+x-12) \le 0 \). Разложим трёхчлены: \( x^2+x-30 = (x+6)(x-5) \), \( x^2+x-12 = (x+4)(x-3) \). Получаем: \( (x+6)(x-5)(x+4)(x-3) \le 0 \). Корни: \( x=-6, x=-4, x=3, x=5 \). Метод интервалов: \( (-\infty; -6] \cup [-4; 3] \cup [5; \infty) \).

Ответ: 1) \( (-\infty; -4] \cup [-3; 2] \cup [3; \infty) \); 2) \( (-\infty; -5] \cup [-2; 1] \cup [4; \infty) \); 3) \( (-\infty; -7] \cup [-4; 3] \cup [6; \infty) \); 4) \( (-\infty; -5] \cup [-4; 3] \cup [4; \infty) \); 5) \( (-\infty; -6] \cup [-3; 2] \cup [5; \infty) \); 6) \( (-\infty; -6] \cup [-4; 3] \cup [5; \infty) \).