Задание 1. В параллелограмме ABCD провели биссектрису угла A, которая пересекла сторону BC в точке P, и биссектрису угла C, которая пересекла сторону AD в точке Q. Докажите, что APCQ — параллелограмм.

Обозначим длины сторон параллелограмма: AB = CD = b, AD = BC = d. Рассмотрим треугольники ABP и CDQ.

Так как AP — биссектриса угла A, ∠BAP = ∠PAD. Поскольку AD ∥ BC, ∠PAD = ∠APB. Значит, в треугольнике ABP равны углы при A и P, поэтому AB = BP = b.

Аналогично, из того что CQ — биссектриса угла C и AD ∥ BC, следует, что в треугольнике CDQ равны углы при C и Q. Следовательно, CD = DQ = b. Значит, BP = DQ.

Поскольку BC = AD, получаем PC = BC − BP = AD − DQ = AQ. Кроме того, PC лежит на BC, а AQ — на AD, поэтому PC ∥ AQ. В четырёхугольнике APCQ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, следовательно, APCQ — параллелограмм.