Задание 3. Докажите, что в треугольнике ABC медиана BM меньше, чем полусумма сторон AB и BC.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому \(AM=MC\).

По неравенству треугольника в треугольниках ABM и CBM:

\(AB<AM+BM\), \(BC<BM+MC\).

Складываем неравенства и учитываем, что \(AM+MC=AC\):

\(AB+BC<2BM+AC\). Это не даёт нужной оценки, поэтому применим неравенство треугольника к треугольнику ABC: \(AC<AB+BC\), а также к треугольнику ABM и CBM в сумме для оценки иначе. По теореме Аполлония: \(AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2)\); вместе с \(|AB-BC|<AC<AB+BC\) получается нужное неравенство.

Непосредственное доказательство: отражением точки A относительно M получим точку A′. Тогда четырёхугольник ABA′C — параллелограмм, поэтому \(BA′=BC\). В треугольнике ABA′ по неравенству треугольника \(AA′<AB+BA′=AB+BC\). Так как M — середина AA′ и \(AA′=2BM\), имеем \(2BM<AB+BC\).

Ответ: \(BM<\frac{AB+BC}{2}\).