Задание 4. На плоскости даны отрезки m, n и a. Постройте параллелограмм ABCD, в котором AC = m, BD = n, AB = a.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей параллелограмма. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому нужно построить треугольник AOB со сторонами \(OA=\frac m2\), \(OB=\frac n2\), \(AB=a\).

1. Постройте отрезок \(AB=a\).
2. Проведите окружность с центром A и радиусом \(\frac m2\), а также окружность с центром B и радиусом \(\frac n2\). Их точку пересечения обозначьте O.
3. Постройте C, симметричную A относительно O, и D, симметричную B относительно O.
4. Соедините A, B, C, D по порядку. Диагонали AC и BD пересекаются и делятся пополам в O, поэтому ABCD — параллелограмм; его диагонали равны m и n, а AB=a.

Построение возможно для невырожденного параллелограмма, если \(\frac{|m-n|}{2}<a<\frac{m+n}{2}\): это условие существования невырожденного треугольника AOB.