Задание 2. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF известно, что стороны AB и DE равны и параллельны, стороны BC и FE равны и параллельны. Докажите, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

Выпуклость шестиугольника задаёт противоположные направления равных параллельных сторон: в векторной форме \(\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{BC}\).

Пусть \(A\) — начало отсчёта, а \(\overrightarrow{AB}=\mathbf u\), \(\overrightarrow{BC}=\mathbf v\), \(\overrightarrow{CD}=\mathbf w\). Тогда

\(B=\mathbf u\), \(C=\mathbf u+\mathbf v\), \(D=\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w\).

Из равенства и параллельности сторон получаем \(E=D-\mathbf u=\mathbf v+\mathbf w\), а затем \(F=E-\mathbf v=\mathbf w\).

Следовательно, середины диагоналей имеют один и тот же радиус-вектор:

\(\frac{A+D}{2}=\frac{\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w}{2}\),

\(\frac{B+E}{2}=\frac{\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w}{2}\),

\(\frac{C+F}{2}=\frac{\mathbf u+\mathbf v+\mathbf w}{2}\).

Значит, диагонали \(AD\), \(BE\) и \(CF\) проходят через одну и ту же точку — общую середину этих диагоналей.