Задание 1. В треугольнике ABC известен угол ∠A = 30°, сторона AB = 10 см, сторона BC = 12 см. Найдите сторону AC.

Обозначим AC через x. По теореме косинусов для стороны BC:

\(12^2=10^2+x^2-2\cdot10\cdot x\cos30^\circ\).

Так как \(\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), получаем:

\(144=100+x^2-10\sqrt3x\), то есть \(x^2-10\sqrt3x-44=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(x=5\sqrt3\pm\sqrt{119}\). Корень \(5\sqrt3-\sqrt{119}\) отрицателен, поэтому длине стороны соответствует только положительный корень.

Ответ: \(AC=5\sqrt3+\sqrt{119}\) см (примерно 19,57 см).