Задание 1. Вычислить а) $$\frac{\sin 75^\circ}{\sin 285^\circ} + \sin 105^\circ$$; б) $$\sin \frac{7\pi}{6}$$

Решение:

а)

1. Преобразуем углы:
• $$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
• $$\sin 285^\circ = \sin (360^\circ - 75^\circ) = -\sin 75^\circ = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
• $$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$
2. Подставим значения в выражение:
$$ \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = -1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

б)

1. Значение синуса угла $$\frac{7\pi}{6}$$:
$$ \sin \frac{7\pi}{6} = \sin (\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$

Ответ: а) $$-1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$; б) $$-\frac{1}{2}$$.