Задание 2. а) $$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$$; $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$. Найти: \( \sin \alpha \); \( \cos \alpha \); \( \operatorname{tg} \alpha \); \( \operatorname{ctg} \alpha \). б) $$\cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)$$

Решение:

а)

1. Дано: $$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$$, $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$.
2. Найдём $$\sin \alpha$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.
$$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} $$$$ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} $$
3. Поскольку $$\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$$, угол $$\alpha$$ находится в IV четверти, где синус отрицателен.
$$ \sin \alpha = -\frac{12}{13} $$
4. Найдём $$\operatorname{tg} \alpha$$:
$$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5} $$
5. Найдём $$\operatorname{ctg} \alpha$$:
$$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{\frac{12}{5}} = \frac{5}{12} $$

б)

1. Используем формулу косинуса разности: $$\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$.
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha $$
2. Подставим известные значения: $$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos \alpha = -\frac{5}{13}$$, $$\sin \alpha = -\frac{12}{13}$$.
$$ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) $$$$ = -\frac{5\sqrt{2}}{26} - \frac{12\sqrt{2}}{26} = -\frac{17\sqrt{2}}{26} $$

Ответ: а) $$\sin \alpha = -\frac{12}{13}$$; $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5}$$; $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{5}{12}$$. б) $$-\frac{17\sqrt{2}}{26}$$.