Задание 3. Упростить выражение $$(\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha) \left( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \operatorname{ctg} \alpha \right)$$

Решение:

Упростим выражение шаг за шагом:

1. Представим $$\operatorname{tg} \alpha$$ и $$\operatorname{ctg} \alpha$$ через $$\sin \alpha$$ и $$\cos \alpha$$:
$$ \left( \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha \right) \left( \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) $$
2. Вынесем общие множители в каждой скобке:
$$ \sin \alpha \left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right) \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \left( \cos \alpha + 1 \right) $$
3. Сократим $$\sin \alpha$$ и преобразуем выражения в скобках:
$$ \frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \left( \cos \alpha + 1 \right) $$
4. Сократим $$\cos \alpha$$:
$$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha} $$
5. Используем формулу разности квадратов: $$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$.
$$ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} $$
6. Сократим $$\sin \alpha$$:
$$ \sin \alpha $$

Ответ: $$\sin \alpha$$.