Задание 4. Доказать тождество. а) $$\frac{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha$$; б) $$\frac{\cos 2\alpha + \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)} = \operatorname{ctg} \alpha$$

Решение:

а) Докажем тождество

1. Преобразуем числитель:
$$ 1 + \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = 2\cos^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha) $$
2. Преобразуем знаменатель:
$$ 1 - \cos 2\alpha + \sin 2\alpha = 2\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = 2\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) $$
3. Разделим числитель на знаменатель:
$$ \frac{2\cos \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)}{2\sin \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha $$
4. Получаем, что левая часть равна $$\operatorname{ctg} \alpha$$. Правая часть равна $$\operatorname{ctg} 2\alpha$$. Данное тождество неверно.

б) Докажем тождество

1. Используем формулы приведения: $$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$$ и $$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha$$.
$$ \frac{\cos 2\alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
2. Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$$.
$$ \frac{2\cos^2 \alpha - 1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $$
3. Данное выражение не упрощается к $$\operatorname{ctg} \alpha$$. Тождество неверно.

Ответ: Представленные тождества неверны.