Задание 1: Вычислите интегралы.

Решение:

1. Вычисление первого интеграла:

\( \int_{1}^{2} 3x^2 dx \)

Используем формулу интегрирования степенной функции: \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

\( \int_{1}^{2} 3x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^{2+1}}{2+1} \right]_{1}^{2} = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} \)

Подставляем пределы интегрирования:

\[ 3 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 3 \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = 3 \left( \frac{7}{3} \right) = 7 \]

2. Вычисление второго интеграла:

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx \)

Используем формулу интегрирования косинуса: \( \int \cos x dx = \sin x + C \).

\( \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi/2} \)

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \]

3. Вычисление третьего интеграла:

\( \int_{0}^{1} (5x^4 - 8x^3) dx \)

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

\[ \int_{0}^{1} 5x^4 dx - \int_{0}^{1} 8x^3 dx \]

\[ 5 \left[ \frac{x^{4+1}}{4+1} \right]_{0}^{1} - 8 \left[ \frac{x^{3+1}}{3+1} \right]_{0}^{1} = 5 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} - 8 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ 5 \left( \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) - 8 \left( \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) = 5 \left( \frac{1}{5} \right) - 8 \left( \frac{1}{4} \right) = 1 - 2 = -1 \]

Ответ: 7; 1; -1.