Задание 3: Найти путь, пройденный материальной точкой за 8 с от начала движения со скоростью \( V = 0.2 t^3 \) (м/с).

Решение:

Путь \( S \), пройденный материальной точкой, является интегралом от скорости \( V(t) \) по времени \( t \).

Скорость задана функцией: \( V(t) = 0.2 t^3 \) м/с.

Начало движения соответствует \( t=0 \), а конец движения — \( t=8 \) секунд.

Формула для нахождения пути:

\[ S = \int_{0}^{8} V(t) dt = \int_{0}^{8} 0.2 t^3 dt \]

Выносим константу за знак интеграла:

\[ S = 0.2 \int_{0}^{8} t^3 dt \]

Интегрируем степенную функцию \( t^3 \):

\[ \int t^3 dt = \frac{t^{3+1}}{3+1} = \frac{t^4}{4} \]

Теперь подставляем пределы интегрирования:

\[ S = 0.2 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{0}^{8} = 0.2 \left( \frac{8^4}{4} - \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ S = 0.2 \left( \frac{4096}{4} - 0 \right) = 0.2 \times 1024 \]

\[ S = 204.8 \]

Ответ: Путь, пройденный материальной точкой, равен 204.8 м.