Задание 2: Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями: 1) \( \phi(x) = x^3 \), \( a = 2 \), \( b = 4 \) и сделать рисунок.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = \phi(x) \), осью Ox и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |\phi(x)| dx \]

В данном случае \( \phi(x) = x^3 \), \( a = 2 \), \( b = 4 \). Так как на интервале \( [2, 4] \) функция \( x^3 \) положительна, то \( |x^3| = x^3 \).

Вычисляем площадь:

\[ S = \int_{2}^{4} x^3 dx \]

Используем формулу интегрирования степенной функции:

\[ S = \left[ \frac{x^{3+1}}{3+1} \right]_{2}^{4} = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{2}^{4} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60 \]

Рисунок:

График функции \( y=x^3 \) — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. На интервале от \( x=2 \) до \( x=4 \) функция возрастает. Площадь представляет собой область под кривой \( y=x^3 \) между вертикальными линиями \( x=2 \) и \( x=4 \) и осью \( Ox \).

Ответ: Площадь фигуры равна 60.