Задание 4: Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций \( y = x^2 - 3x + 2 \) и \( y = x - 1 \).

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками функций, нужно сначала найти точки их пересечения. Приравняем уравнения функций:

\[ x^2 - 3x + 2 = x - 1 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 - 3x - x + 2 + 1 = 0 \]

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 x_2 = 3 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \).

Теперь определим, какая из функций больше на интервале \( [1, 3] \). Возьмём тестовую точку, например, \( x = 2 \):

Для \( y = x^2 - 3x + 2 \): \( y = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 \).

Для \( y = x - 1 \): \( y = 2 - 1 = 1 \).

Значит, на интервале \( [1, 3] \) функция \( y = x - 1 \) находится выше, чем \( y = x^2 - 3x + 2 \).

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( y_{верхняя} = x - 1 \), \( y_{нижняя} = x^2 - 3x + 2 \).

\[ S = \int_{1}^{3} ((x - 1) - (x^2 - 3x + 2)) dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} (x - 1 - x^2 + 3x - 2) dx \]

\[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx \]

Теперь интегрируем:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x \right]_{1}^{3} \]

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right) \]

\[ S = \left( -\frac{27}{3} + 2(9) - 9 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) \]

\[ S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \]

\[ S = (0) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{3}{3} \right) = -\left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \(\frac{4}{3}\).