Задание 10. Моторная лодка прошла против течения реки 193 км 750 м и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в спокойной воде, если скорость течения равна 1,5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Дано:

Расстояние \( S = 193.75 \) км.

Скорость течения \( v_т = 1.5 \) км/ч.

Время возвращения на \( \Delta t = 2 \) часа меньше.

Найти: Скорость лодки в спокойной воде \( v_л \).

Решение:

Пусть \( v_л \) – скорость лодки в спокойной воде.

Скорость лодки по течению: \( v_по \) = \( v_л + v_т = v_л + 1.5 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_пр \) = \( v_л - v_т = v_л - 1.5 \) км/ч.

Время в пути против течения: \( t_пр = \frac{S}{v_пр} = \frac{193.75}{v_л - 1.5} \) часов.

Время в пути по течению: \( t_по = \frac{S}{v_по} = \frac{193.75}{v_л + 1.5} \) часов.

По условию, \( t_пр - t_по = 2 \).

\( \frac{193.75}{v_л - 1.5} - \frac{193.75}{v_л + 1.5} = 2 \)

Вынесем \( 193.75 \) за скобки:

\( 193.75 \left( \frac{1}{v_л - 1.5} - \frac{1}{v_л + 1.5} \right) = 2 \)

Приведём к общему знаменателю в скобках:

\( \frac{(v_л + 1.5) - (v_л - 1.5)}{(v_л - 1.5)(v_л + 1.5)} = \frac{v_л + 1.5 - v_л + 1.5}{v_л^2 - 1.5^2} = \frac{3}{v_л^2 - 2.25} \)

\( 193.75 \cdot \frac{3}{v_л^2 - 2.25} = 2 \)

\( \frac{581.25}{v_л^2 - 2.25} = 2 \)

\( 581.25 = 2(v_л^2 - 2.25) \)
\( 581.25 = 2v_л^2 - 4.5 \)
\( 2v_л^2 = 581.25 + 4.5 \)
\( 2v_л^2 = 585.75 \)
\( v_л^2 = \frac{585.75}{2} = 292.875 \)
\( v_л = \sqrt{292.875} \approx 17.11 \)

Проверим условие \( v_л > v_т \). \( 17.11 > 1.5 \), условие выполняется.

Ответ: 17.11.