Задание 11. Решите уравнение ( cos x - √3/2 ) * √(x² - 7x + 10) = 0.

Решение:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. Первый множитель: \( \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \)
   \( \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   

   Общее решение этого уравнения:

   
   

   \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.



2. Второй множитель (подкоренное выражение): \( \sqrt{x^2 - 7x + 10} = 0 \)
   

   Чтобы корень был определён, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2 - 7x + 10 \ge 0 \).

   
   

   Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 7x + 10 = 0 \).

   
   

   Дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).

   
   

   Корни: \( x_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5 \).

   
   

   Так как ветви параболы \( y = x^2 - 7x + 10 \) направлены вверх, то \( x^2 - 7x + 10 \ge 0 \) при \( x \in (-\infty; 2] \cup [5; +\infty) \).

   
   

   Теперь приравняем подкоренное выражение к нулю:

   
   

   \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
   

   Корни этого уравнения: \( x=2 \) и \( x=5 \).

Объединяем решения:

Мы получили два типа решений: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x=2, x=5 \).

Заметим, что \( x=2 \) и \( x=5 \) удовлетворяют условию \( x^2 - 7x + 10 \ge 0 \).

Таким образом, решениями уравнения являются:

\( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x=2 \), \( x=5 \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), \( x=2 \), \( x=5 \), где \( k \in \mathbb{Z} \).