Задание №10. Пружинный маятник массой 0,16 кг совершает гармонические колебания. Какой должна стать масса этого маятника, чтобы период колебаний увеличился в два раза?

Решение:

Период колебаний пружинного маятника \( T \) определяется формулой:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]
где \( m \) — масса маятника, \( k \) — жёсткость пружины.

По условию, масса маятника \( m_1 = 0.16 \text{ кг} \). Пусть период колебаний с этой массой равен \( T_1 \).

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} \]
Мы хотим, чтобы период колебаний увеличился в два раза, то есть \( T_2 = 2T_1 \). Нужно найти новую массу \( m_2 \).

\[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]
Подставим \( T_2 = 2T_1 \):

\[ 2T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]
Теперь подставим выражение для \( T_1 \):

\[ 2 \left( 2\pi \sqrt{\frac{m_1}{k}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]
Разделим обе части на \( 2\pi \):

\[ 2 \sqrt{\frac{m_1}{k}} = \sqrt{\frac{m_2}{k}} \]
Возведём обе части в квадрат:

\[ 4 \left( \frac{m_1}{k} \right) = \frac{m_2}{k} \]
Умножим обе части на \( k \):

\[ 4m_1 = m_2 \]
Теперь подставим значение \( m_1 \):

\[ m_2 = 4 \times 0.16 \text{ кг} = 0.64 \text{ кг} \]

Вывод:

Чтобы период колебаний увеличился в два раза, массу маятника нужно увеличить в четыре раза. Период зависит от массы как \( T ∝ \sqrt{m} \), поэтому чтобы \( T \) увеличился в 2 раза, \( m \) должно увеличиться в \( 2^2 = 4 \) раза.

Ответ: Масса маятника должна стать 0,64 кг.