ЗАДАНИЕ 11. Дуга, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC, AC в точках K, L, M соответственно. Найдите длину стороны BC, если AK = 3, KB = 8, а периметр треугольника ABC равен 42.

Так как касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, то AK = AM = 3, BK = BL = 8, CL = CM.
Периметр ABC = AB + BC + AC = (AK + KB) + (BL + LC) + (AM + MC) = (3 + 8) + (8 + LC) + (3 + MC) = 11 + 8 + LC + 3 + MC = 22 + LC + MC = 42.
LC + MC = 42 - 22 = 20.
BC = BL + LC = 8 + LC.
Так как LC = MC, то 2 * LC = 20, следовательно LC = 10.
BC = 8 + 10 = 18.