Задание 12. Докажите неравенство: 1) $x^2+8x+20>0$; 2) $5a^2+20a>-25$; 3) $6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6$; 4) $(\sqrt{x}-1)^2<2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)+12$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 12. Докажите неравенство: 1) $x^2+8x+20>0$; 2) $5a^2+20a>-25$; 3) $6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6$; 4)…$ Фото задания

Accepted Answer

Выделим полный квадрат: $x^2+8x+20=(x+4)^2+4$. Квадрат неотрицателен, поэтому выражение строго больше нуля.
Неравенство верно при всех действительных $x$.
Перенесём $-25$ влево и выделим квадрат: $5a^2+20a+25=5(a+2)^2+5$. Правая часть положительна при любом $a$.
Неравенство верно при всех действительных $a$.
Вычтем правую часть из левой и выделим квадрат: $6c^2+10c+8-(-3c^2+4c+6)=9c^2+6c+2=9\left(c+\dfrac13\right)^2+1$.
Полученное выражение положительно при любом $c$, значит левая часть больше правой.
Неравенство верно при всех действительных $c$.
Область определения: $x\ge0$. Обозначим $t=\sqrt{x}$, тогда $t\ge0$. Вычтем левую часть из правой:
$2t(t+2)+12-(t-1)^2=t^2+6t+11$.
Так как $t\ge0$, то $t^2+6t+11>0$. Следовательно, правая часть строго больше левой.
Неравенство верно при всех $x\ge0$.

Задание 12. Докажите неравенство: 1) \(x^2+8x+20>0\); 2) \(5a^2+20a>-25\); 3) \(6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6\); 4) \((\sqrt{x}-1)^2<2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)+12\).