Задание 12. Докажите неравенство: 1) \(x^2+8x+20>0\); 2) \(5a^2+20a>-25\); 3) \(6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6\); 4) \((\sqrt{x}-1)^2<2\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)+12\).

1. Выделим полный квадрат:

   \(x^2+8x+20=(x+4)^2+4\).

   Квадрат неотрицателен, поэтому \((x+4)^2+4>0\) при любом действительном \(x\).

2. Перенесём \(-25\) в левую часть и выделим квадрат:

   \(5a^2+20a+25=5(a+2)^2+5\).

   Так как \(5(a+2)^2\ge0\), левая часть больше нуля при любом действительном \(a\). Значит, исходное неравенство верно.

3. Перенесём всё в левую часть:

   \(9c^2+6c+2=9\left(c+\frac{1}{3}\right)^2+1\).

   Это выражение положительно при любом действительном \(c\), поэтому исходное неравенство доказано.

4. Область определения: \(x\ge0\). Обозначим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\ge0\). Подставим и перенесём левую часть вправо:

   \(2t(t+2)+12-(t-1)^2=2t^2+4t+12-(t^2-2t+1)=t^2+6t+11\).

   При \(t\ge0\) выражение \(t^2+6t+11>0\). Следовательно, правая часть исходного неравенства больше левой.

Ответ: все четыре неравенства верны в указанных областях определения.