Задание 9. Докажите неравенство \(\frac{x^2+9}{6}\ge x\).

Умножим обе части на 6. Знак неравенства не меняется, так как 6 > 0:

\(x^2+9\ge 6x\).

Перенесём всё в левую часть и свернём в квадрат:

\(x^2-6x+9=(x-3)^2\ge 0\).

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, значит, исходное неравенство верно при всех действительных \(x\).

Ответ: неравенство доказано.