Задание 13. Количество целых значений $a$, при которых уравнение $|x-a^2|=3-a$ имеет корни разных знаков, равно. Варианты: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.

Question

$Фото задания: Задание 13. Количество целых значений $a$, при которых уравнение $|x-a^2|=3-a$ имеет корни разных знаков, равно.…$ Фото задания

Accepted Answer

Правая часть должна быть неотрицательной:

\[3-a\ge 0\quad\Longrightarrow\quad a\le 3.\]

Уравнение $|x-a^2|=3-a$ имеет корни

\[x_1=a^2-(3-a)=a^2+a-3,\qquad x_2=a^2+(3-a)=a^2-a+3.\]

Всегда $x_2=a^2-a+3>0$, поэтому для корней разных знаков необходимо и достаточно, чтобы $x_1<0$:

\[a^2+a-3<0.\]

Корни квадратного трёхчлена: $\frac{-1\pm\sqrt{13}}2$, поэтому целые значения в заданном интервале: $a=-2,-1,0$. Их три.

Ответ: 3.

Задание 13. Количество целых значений \(a\), при которых уравнение \(|x-a^2|=3-a\) имеет корни разных знаков, равно. Варианты: 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3; 5) 4.