Задание 13. Укажите решение неравенства: \( (x + 1)(x - 6) \le 0 \)

Краткое пояснение:

Неравенство представляет собой произведение двух линейных множителей, которое должно быть меньше или равно нулю. Это означает, что множители должны иметь разные знаки или один из них должен быть равен нулю.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Находим корни уравнения \( (x + 1)(x - 6) = 0 \).

Корни: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 6 \).

Шаг 2: Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -1] \), \( [-1, 6] \), \( [6, \infty) \).

Шаг 3: Определяем знак произведения \( (x + 1)(x - 6) \) на каждом интервале.

• На интервале \( (-\infty, -1) \): Возьмем пробную точку, например, \( x = -2 \). \( (-2 + 1)(-2 - 6) = (-1)(-8) = 8 > 0 \).
• На интервале \( (-1, 6) \): Возьмем пробную точку, например, \( x = 0 \). \( (0 + 1)(0 - 6) = (1)(-6) = -6 < 0 \).
• На интервале \( (6, \infty) \): Возьмем пробную точку, например, \( x = 7 \). \( (7 + 1)(7 - 6) = (8)(1) = 8 > 0 \).

Шаг 4: Поскольку нам нужно решить неравенство \( \le 0 \), мы ищем интервалы, где произведение отрицательно или равно нулю. Это интервал \( [-1, 6] \).

Шаг 5: Так как неравенство нестрогое (\( \le \)), корни \( -1 \) и \( 6 \) включаются в решение.

Шаг 6: Сравниваем полученное решение с предложенными вариантами.

• 1) — отрезок [-1, 6] с закрашенными концами.
• 2) — луч \( (-\infty, -1] \) с закрашенным концом.
• 3) — луч \( [6, \infty) \) с закрашенным концом.
• 4) — отрезок [-1, 6] с пустыми концами.

Наше решение \( [-1, 6] \) с закрашенными концами соответствует варианту 1.

Ответ: 1) (изображено на числовой прямой как отрезок от -1 до 6, включая обе точки)