Задание 15.1. а) Решите уравнение \(8\sin^4 x+10\sin^2 x-3=0\); б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\).

Положим \(t=\sin^2 x\), где \(0\le t\le1\). Тогда

\(8t^2+10t-3=0\),

\(D=10^2-4\cdot8\cdot(-3)=196\), поэтому \(t=\frac14\) или \(t=-\frac32\). Второе значение не подходит, поскольку \(t\ge0\). Следовательно, \(\sin^2 x=\frac14\), то есть \(\sin x=\pm\frac12\).

Общее решение: \(x=\pi k\pm\frac{\pi}{6}\), \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \(\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]\) подходят значения \(-\frac{19\pi}{6}\), \(-\frac{17\pi}{6}\), \(-\frac{13\pi}{6}\). Концы отрезка не являются корнями.

Ответ: а) \(x=\pi k\pm\frac{\pi}{6}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{19\pi}{6},-\frac{17\pi}{6},-\frac{13\pi}{6}\).