Задание 20.1. а) (ОБЗ) Решите уравнение \(\sin^3 x-\sin^2 x+\sin x-1=0\); б) укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

Положим \(s=\sin x\). Сгруппируем слагаемые:

\(s^3-s^2+s-1=s^2(s-1)+(s-1)=(s-1)(s^2+1)=0\).

Для действительного \(s\) множитель \(s^2+1\) не равен нулю, поэтому \(\sin x=1\). Отсюда \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \(\left[-4\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) подходят \(-\frac{7\pi}{2}\) и \(-\frac{3\pi}{2}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{7\pi}{2},-\frac{3\pi}{2}\).