Задание 22.1. а) Решите уравнение \(2\cos^3 x-2\cos x+\sin^2 x=0\); б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).

Используем тождество \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\) и положим \(c=\cos x\):

\(2c^3-2c+1-c^2=0\), то есть \(2c^3-c^2-2c+1=0\).

Разложим на множители группировкой: \(c^2(2c-1)-1(2c-1)=(2c-1)(c^2-1)=0\). Значит, \(c=\frac12\), \(c=1\) или \(c=-1\).

Общее решение: \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\), либо \(x=\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) корни: \(2\pi,\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3},3\pi\).

Ответ: а) \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{3}\) или \(x=\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(2\pi,\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3},3\pi\).