Задание 15. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине площади трапеции.

1. Обозначим основания трапеции через \(AD=a\), \(BC=b\), а высоту через \(h\). Средняя линия параллельна основаниям и находится на одинаковом расстоянии от них, равном \(\frac{h}{2}\).
2. Так как F лежит на средней линии, высота треугольника BFC, опущенная на основание BC, равна \(\frac{h}{2}\). Поэтому \(S_{BFC}=\frac{1}{2}b\cdot\frac{h}{2}=\frac{bh}{4}\).
3. Аналогично высота треугольника AFD к основанию AD равна \(\frac{h}{2}\), поэтому \(S_{AFD}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{h}{2}=\frac{ah}{4}\).
4. Складываем площади: \(S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{(a+b)h}{4}\). Площадь трапеции равна \(S_{ABCD}=\frac{(a+b)h}{2}\), следовательно, \(S_{BFC}+S_{AFD}=\frac{1}{2}S_{ABCD}\).

Что и требовалось доказать.