Задание 15. Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

Поскольку CD — боковая сторона трапеции, её основания — AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

Пусть h — расстояние между параллельными основаниями. Точки A и B лежат на одной прямой AB, а точки C и D — на другой стороне этой прямой в рассматриваемой конфигурации трапеции. Высота треугольника KAB, опущенная на AB, равна полусумме расстояний от C и D до AB, так как K — середина CD.

Обозначим длину AB через b, а высоты точек C и D над прямой AB — через h_C и h_D. Тогда S_KAB = b(h_C + h_D)/4.

Из AD ∥ BC следует, что соответствующие высоты C и D над AB связаны с длинами оснований так, что S_ABCD = b(h_C + h_D)/2. Следовательно, S_KAB = S_ABCD/2.

Площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.