Задание 17. Фигура составляется из квадратов (показано на рисунке).

Решение:

В данном задании рассматриваются арифметические прогрессии, где каждый следующий член является количеством квадратов в строке.

1) Количество квадратов в 53-й строке:

Первая строка содержит 6 квадратов. Каждая следующая строка на 6 квадратов больше предыдущей. Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 6 \) и разностью \( d = 6 \). Формула n-го члена: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Найдем количество квадратов в 53-й строке:

\[ a_{53} = 6 + (53-1) × 6 = 6 + 52 × 6 = 6 + 312 = 318 \]

2) Количество квадратов в 78-й строке:

Первая строка содержит 6 квадратов. Каждая следующая строка на 2 квадрата больше предыдущей. Это арифметическая прогрессия с \( a_1 = 6 \) и \( d = 2 \).

Найдем количество квадратов в 78-й строке:

\[ a_{78} = 6 + (78-1) × 2 = 6 + 77 × 2 = 6 + 154 = 160 \]

3) Количество квадратов в 65-й строке:

Первая строка содержит 6 квадратов. Каждая следующая строка на 4 квадрата больше предыдущей. Это арифметическая прогрессия с \( a_1 = 6 \) и \( d = 4 \).

Найдем количество квадратов в 65-й строке:

\[ a_{65} = 6 + (65-1) × 4 = 6 + 64 × 4 = 6 + 256 = 262 \]

4) Количество квадратов в 34-й строке:

Первая строка содержит 6 квадратов. Каждая следующая строка на 8 квадратов больше предыдущей. Это арифметическая прогрессия с \( a_1 = 6 \) и \( d = 8 \).

Найдем количество квадратов в 34-й строке:

\[ a_{34} = 6 + (34-1) × 8 = 6 + 33 × 8 = 6 + 264 = 270 \]

Ответ: 1) 318; 2) 160; 3) 262; 4) 270.