Задание 17. Луч ОС делит угол АОВ на два угла, один из которых на 90° больше другого. Найдите эти углы, если угол АОВ равен: а) 120°; б) 170°; в) 180°.

Решение:

Пусть меньший угол равен \( x \). Тогда больший угол равен \( x + 90° \).

а) Если ∠АОВ = 120°:

\( x + (x + 90°) = 120° \)

\( 2x + 90° = 120° \)

\( 2x = 120° - 90° \)

\( 2x = 30° \)

\( x = 15° \)

Меньший угол ∠1 = 15°. Больший угол ∠2 = 15° + 90° = 105°.

Проверка: 15° + 105° = 120°.

б) Если ∠АОВ = 170°:

\( x + (x + 90°) = 170° \)

\( 2x + 90° = 170° \)

\( 2x = 170° - 90° \)

\( 2x = 80° \)

\( x = 40° \)

Меньший угол ∠1 = 40°. Больший угол ∠2 = 40° + 90° = 130°.

Проверка: 40° + 130° = 170°.

в) Если ∠АОВ = 180°:

\( x + (x + 90°) = 180° \)

\( 2x + 90° = 180° \)

\( 2x = 180° - 90° \)

\( 2x = 90° \)

\( x = 45° \)

Меньший угол ∠1 = 45°. Больший угол ∠2 = 45° + 90° = 135°.

Проверка: 45° + 135° = 180°.

Ответ: а) 15° и 105°; б) 40° и 130°; в) 45° и 135°.