Задание 2. На чертеже прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Дано: AB = 6 см, AD = 8 см, BD = 10 см, ∠CAD = 42°. Найдите CD, BC, AC, P_AOD, P_ABCD, ∠BAC, ∠OBA, ∠AOB, ∠AOD.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Соседние углы прямоугольника равны 90°.

CD = AB = 6 см; BC = AD = 8 см; AC = BD = 10 см.

AO = AC : 2 = 5 см, а DO = BD : 2 = 5 см. Тогда P_AOD = AO + OD + AD = 5 + 5 + 8 = 18 см.

P_ABCD = 2(AB + AD) = 2(6 + 8) = 28 см.

В треугольнике ABC угол ABC прямой, поэтому ∠BAC = 90° − ∠ACB. Угол CAD = 42° — это угол между диагональю AC и стороной AD; поскольку AD параллельна BC, ∠ACB = 42°. Следовательно, ∠BAC = 48°.

Диагональ BD образует с горизонтальной стороной угол 48°, поэтому ∠OBA = 90° − 48° = 42°. Угол между диагоналями при O, смежный с ∠AOD, равен 2·42° = 84°; значит, ∠AOD = 180° − 84° = 96° и ∠AOB = 84°.

Ответ: CD = 6 см; BC = 8 см; AC = 10 см; P_AOD = 18 см; P_ABCD = 28 см; ∠BAC = 48°; ∠OBA = 42°; ∠AOB = 84°; ∠AOD = 96°.