Задание 2. На рисунке KN = MN, CK = MB, ∠PMN = ∠NKO. а) Докажите, что треугольники MBN и NCK равны. б) Найдите угол MNK, если ∠MNB = 15°, ∠BNC = 32°.

Решение:

а) Доказательство равенства треугольников MBN и NCK:

1. По условию \( KN = MN \).
2. По условию \( CK = MB \).
3. Углы \( ∠ PMN \) и \( ∠ NKO \) равны по условию.
4. Углы \( ∠ KNC \) и \( ∠ MNB \) являются вертикальными, значит \( ∠ KNC = ∠ MNB \).
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( △ MBN = △ NCK \).

б) Нахождение ∠MNK:

Угол \( ∠ MNK \) состоит из трёх смежных углов: \( ∠ MNB \), \( ∠ BNC \) и \( ∠ CNK \).

Нам известны \( ∠ MNB = 15° \) и \( ∠ BNC = 32° \).

Из равенства треугольников \( △ MBN = △ NCK \) следует, что \( ∠ M = ∠ K \) (углы при основаниях равных равнобедренных треугольников, так как \( KN = MN \)).

В равнобедренном треугольнике \( △ MNK \) (по условию \( KN = MN \)) углы при основании равны. Следовательно, \( ∠ NMK = ∠ NKM \).

Из равенства \( △ MBN = △ NCK \) следует, что \( ∠ KCN = ∠ NBM \). Это не помогает нам найти \( ∠ CNK \).

Рассмотрим \( ∠ NKO \) и \( ∠ PMN \). Так как \( KN = MN \), то \( △ MNK \) — равнобедренный. Углы при основании \( ∠ K = ∠ M \).

У нас есть \( ∠ K = ∠ NKM \) и \( ∠ M = ∠ NMK \).

Заметим, что \( ∠ NKO \) — это часть угла \( ∠ NKM \), а \( ∠ PMN \) — это часть угла \( ∠ NMK \).

Так как \( ∠ NMK = ∠ NKM \), то \( ∠ PMN = ∠ NKO \). Это условие было дано.

Из равенства треугольников \( △ MBN = △ NCK \) следует, что \( ∠ NBM = ∠ KCN \).

Также из равенства треугольников следует \( ∠ MNB = ∠ KNC \). Это было показано в пункте 4.

У нас есть \( ∠ MNB = 15° \) и \( ∠ BNC = 32° \).

Угол \( ∠ MNK \) равен сумме смежных углов \( ∠ MNB \), \( ∠ BNC \) и \( ∠ CNK \).

Из равенства \( △ MBN = △ NCK \) следует, что \( ∠ M = ∠ K \). Поскольку \( △ MNK \) — равнобедренный, это логично.

Из равенства \( △ MBN = △ NCK \) следует, что \( ∠ BMN = ∠ CNK \). Это тоже не верно.

Рассмотрим равенство \( △ MBN = △ NCK \). Мы имеем: \( MN = KN \), \( MB = CK \), \( ∠ PMN = ∠ NKO \). Углы \( ∠ KNM \) и \( ∠ MNK \) — это один и тот же угол.

Нам нужно найти \( ∠ MNK \).

Угол \( ∠ MNK = ∠ MNB + ∠ BNC + ∠ CNK \).

Поскольку \( △ MBN = △ NCK \), то \( ∠ MNB = ∠ KNC \). Так как \( ∠ MNB = 15° \), то \( ∠ KNC = 15° \).

Таким образом, \( ∠ MNK = 15° + 32° + 15° = 62° \).

Ответ: а) Треугольники MBN и NCK равны по первому признаку равенства треугольников. б) ∠MNK = 62°.