Задание 4*. Группа ребят, состоящая из 20 человек отправилась на экскурсию в зоопарк. По территории зоопарка дети ходили парами. Оказалось, что во время экскурсии каждый видел льва или носорога. После экскурсии все ребята заявили следующее: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва». Оказалось, что правду сказали только те ребята, которые видели носорога. Сколько человек видели носорога и сколько видели льва?

Решение:

Обозначим:

• \( Л \) — множество ребят, видевших льва.
• \( Н \) — множество ребят, видевших носорога.
• \( В \) — все ребята, \( |В| = 20 \).
• \( П \) — ребята, которые были в паре.
• \( О \) — ребята, которые были одни (без пары).

Условие «каждый видел льва или носорога» означает, что \( |Л ∪ Н| = 20 \).

Условие «Все, кто не был со мной в паре, видели льва» означает, что если человек \( X \) говорит это, то все остальные люди \( Y \) (кроме его партнёра \( X_p \)) видели льва. Это условие применимо только к тем, кто был в паре, потому что если человек был один, то «кто не был со мной в паре» — это все остальные. Таким образом, если человек \( X \) был один, и он сказал эту фразу, то все остальные \( 19 \) человек видели льва.

Условие «правду сказали только те ребята, которые видели носорога» означает, что:

• Если человек видел носорога, то он прав.
• Если человек видел льва, то он солгал.

Рассмотрим утверждение: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Случай 1: Человек был в паре.

Пусть \( X \) и \( X_p \) — пара. \( X \) говорит: «Все, кто не был со мной в паре (то есть \( X_p \) и все остальные, кто не в паре), видели льва».

Если \( X \) видел носорога (и он говорит правду), то \( X_p \) (его напарник) видел льва, и все остальные, кто не в паре (если такие есть), видели льва.

Если \( X \) видел льва (и он солгал), то неверно, что все, кто не был с ним в паре, видели льва. Значит, хотя бы один человек из тех, кто не был с \( X \) в паре, НЕ видел льва. То есть, он видел носорога. Этот человек может быть \( X_p \) или кто-то другой не из пары.

Случай 2: Человек был один.

Пусть \( X \) был один. \( X \) говорит: «Все, кто не был со мной в паре (то есть все остальные \( 19 \) человек), видели льва».

Если \( X \) видел носорога (и он говорит правду), то все остальные \( 19 \) человек видели льва. Значит, \( |Н|=1 \), \( |Л|=19 \).

Если \( X \) видел льва (и он солгал), то неверно, что все остальные \( 19 \) человек видели льва. Значит, хотя бы один человек из остальных \( 19 \) человек видел носорога.

Условие «правду сказали только те ребята, которые видели носорога» означает, что:

• Если человек видел носорога, то его утверждение истинно.
• Если человек видел льва, то его утверждение ложно.

Рассмотрим утверждение: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Если человек видел носорога, он говорит правду.

Пусть человек \( Н_1 \) видел носорога. Его утверждение истинно: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Если человек видел льва, он солгал.

Пусть человек \( Л_1 \) видел льва. Его утверждение ложно: «НЕ все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Проанализируем условие «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Предположим, что все дети ходили парами.

Пусть \( X \) и \( Y \) — пара. \( X \) говорит: «\( Y \) видел льва, и все остальные (кроме \( X \) и \( Y \)) видели льва».

Если \( X \) видел носорога (говорит правду), то \( Y \) видел льва, и все остальные видели льва.

Если \( X \) видел льва (лжет), то неверно, что \( Y \) видел льва ИЛИ неверно, что все остальные видели льва. Это значит, что \( Y \) видел носорога ИЛИ кто-то из остальных видел носорога.

Если \( X \) и \( Y \) — пара, и \( X \) говорит правду (видел носорога), то \( Y \) должен видеть льва. Так как \( Y \) видел льва, он должен солгать. Его утверждение: «\( X \) видел льва, и все остальные видели льва» — должно быть ложным. Но \( X \) видел носорога, поэтому это утверждение действительно ложно. Это возможно.

Итак, если все ходят парами, то в каждой паре один видит носорога, а другой — льва. Тогда 10 человек видели носорога, 10 — льва.

Рассмотрим, что если кто-то был один.

Всего 20 человек. Они ходят парами. Значит, количество непарных (одиноких) человек может быть 0, 2, 4, ..., 20. Но сказано, что они ходили парами. Это может означать, что в лучшем случае 19 человек могли быть в парах, а 1 — одинокий. Или 18 в парах, 2 одиноких. Или все 10 пар.

Условие «Оказалось, что правду сказали только те ребята, которые видели носорога» — ключевое.

Пусть \( N \) — количество человек, видевших носорога. \( L \) — количество человек, видевших льва. \( N + L = 20 \).

Утверждение: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Рассмотрим пару \( A \) и \( B \).

\( A \) говорит: «\( B \) видел льва, и все остальные (кто не \( A \) и не \( B \)) видели льва».

\( B \) говорит: «\( A \) видел льва, и все остальные (кто не \( A \) и не \( B \)) видели льва».

Если \( A \) видел носорога (говорит правду):

Тогда \( B \) видел льва. И все остальные (кто не \( A \) и не \( B \)) видели льва.

Так как \( B \) видел льва, он должен солгать. Утверждение \( B \) — ложно. Его утверждение: «\( A \) видел льва, и все остальные видели льва».

Это ложно, потому что \( A \) видел носорога. Совпадает.

Итак, если \( A \) и \( B \) — пара, и \( A \) видел носорога, то \( B \) видел льва. В этой паре 1 видит носорога, 1 — льва.

Если все 20 человек были в парах (10 пар):

Тогда в каждой паре один видел носорога, другой — льва. Всего 10 видели носорога, 10 — льва.

Теперь рассмотрим случай, когда кто-то был один.

Предположим, \( K \) человек были одни, \( 20 - K \) человек были в парах. \( 20 - K \) должно быть четным. Так что \( K \) может быть 0, 2, 4, ..., 20.

Пусть \( X \) был один. \( X \) говорит: «Все \( 19 \) остальных видели льва».

Если \( X \) видел носорога (говорит правду), то все \( 19 \) остальных видели льва. Тогда \( N=1 \) (сам \( X \)), \( L=19 \).

Если \( X \) видел льва (лжет), то не все \( 19 \) остальных видели льва. Значит, кто-то из остальных видел носорога.

Условие: «правду сказали только те ребята, которые видели носорога».

Сценарий: 19 человек видели льва, 1 человек видел носорога.

Пусть \( Н_1 \) видел носорога, \( Л_1, ..., Л_{19} \) видели льва.

Если \( Н_1 \) был один:

\( Н_1 \) говорит: «Все \( 19 \) остальных (\( Л_1, ..., Л_{19} \)) видели льва». Это правда. \( Н_1 \) говорит правду, что соответствует условию (те, кто видел носорога, говорят правду).

\( Л_i \) (любой из видевших льва) говорит: «Все, кто не был со мной в паре, видели льва».

Если \( Л_i \) был один, то он солгал, потому что \( Н_1 \) видел носорога. Это соответствует условию (те, кто видел льва, лгут).

Если \( Л_i \) был в паре с \( Л_j \) (или \( Н_1 \)), то он солгал. Это соответствует условию.

Значит, вариант: 1 человек видел носорога, 19 человек видели льва — подходит.

Проверим сценарий: 10 человек видели носорога, 10 человек видели льва (все были в парах).

Возьмём пару \( Н_1 \) (видел носорога) и \( Л_1 \) (видел льва).

\( Н_1 \) говорит: «\( Л_1 \) видел льва, и все остальные (18 человек, видевших льва) видели льва». Это правда. \( Н_1 \) говорит правду.

\( Л_1 \) говорит: «\( Н_1 \) видел льва, и все остальные (18 человек, видевших льва) видели льва». Это ложь, потому что \( Н_1 \) видел носорога. \( Л_1 \) лжет.

Этот сценарий также подходит.

Уточнение по условию «Дети ходили парами».

Это может означать, что каждый ребёнок имел напарника. Если это так, то 20 человек делятся на 10 пар.

В этом случае, как мы показали выше, в каждой паре один видел носорога, а другой — льва.

Итак, 10 человек видели носорога, 10 человек видели льва.

Ответ: 10 человек видели носорога, 10 человек видели льва.